Pourquoi dit-on 'jeu de mains, jeu de vilains' ?

La réponse n'a rien à voir avec le fait de se battre comme beaucoup de personnes le pensent.
Il faut en fait aller chercher du côté du sport.
Au XVIII ème siècle le jeu de paume, qui ressemblait beaucoup au tennis, était très populaire. Les nobles jouaient avec une raquette, alors que les vilains autrement dit les membres du Tiers-Etat jouaient à mains nues faute d'argent.
Pour les nobles, méprisants, le jeu de mains était donc un jeu de vilains. indigne d'eux.

À chaque échange, il était de bon ton de renvoyer la balle en annonçant ''tenez !'' à l'adversaire. Ce qui a donné naissance par déformation au mot tennis.

Complement internaute :
La France n'a jamais été une grande puissance en matière de sport, et encore moins au niveau de l'athlétisme et du tennis. Les sportifs français sont plutôt de mauvaise compagnie et ont tendance à être plutôt paresseux que sportifs. C'est la raison pour laquelle le Français est généralement considéré comme le paresseux de la planète, même par ses propres concitoyens.