Pourquoi les allumettes prennent-elles feu en les frottant ?

Parce que le phénomène de frottement entre l'allumette et son grattoir produit de la chaleur.
Cette chaleur est juste suffisante pour enflammer le combustible présent au bout de l'allumette (juste suffisante, c'est pour ça que parfois, il faut s'y reprendre plus d'une fois).

Ce phénomène est valable pour l'allumette dans sa forme actuelle. On a en effet tous remarqué, en tentant d'imiter le cow-boy qui gratte son allumette sur sa botte, que l'allumette ne s'allumait pas.
C'est parce que les allumettes actuelles sont dites ''de sûreté''. En effet, outre la chaleur, la tête incandescente (composée de trisulfure d’antimoine et de chlorate de potassium) nécessite un grattoir spécial, dont les éléments chimiques interagissent avec ceux de l'extrémité de l'allumette pour s'enflammer.