Cette expression est l'analogue de l'expression ''donner sa part au chat''.
Elle signifie, l'abandonner, la laisser. C'est une expresion bourguignonne qui établit la valeur de donner au chat. Elle signifie la gratuité, le renoncement. C'est comme la part de viande ou de nourriture dont on ne veut plus qu'on donne au chat.

Quant à la langue au lieu de la part, elle vient certainement du fait que lorsqu'on nous fait par exemple deviner quelque chose, nous devons nous servir de notre langue pour répondre or si nous ne pouvons pas ou ne voulons pas, nous la donnons au chat. D'où vient donc l'expression ''donner sa langue au chat''.