Nous devons le mot ''binette'' à un certain M. Binet, perruquier de Louis XIV et créateur de perruques masculines que l'on appelait... des binettes.
Le mot finit par désigner familièrement un visage.
Se casser la binette est donc une autre façon de se casser la figure.
Comme quoi l'expression ''tirer une drôle de binette'' est quand même un peu tirée... par les cheveux.